Essa foi a primeira questão de matemática do Enem 2017, e a prova já começou queimando os miolos de muitos estudantes, porém ela não é tão difícil de se resolver.
Para entendermos melhor essa questão vamos relembrar o conceito de porcentagem.
uma determinada porcentagem nada mais é do que uma fração de um total, cujo denominador será sempre 100, este conceito é muito utilizado em cálculo de preços, descontos, em pesquisas e diversas outras áreas da matemática.
Exemplificando, quando dizemos que um produto terá 20% de desconto, isso basicamente nos diz que, a cada 100 unidades do preço do produto serão descontadas 20, ou seja, se um produto custa 1 real (100 centavos), terá um desconto de 20 centavos, se outro produto custa 50 reais, terá um desconto de 10 reais,
Então, chamemos de P o preço de um produto e vamos calcular em um desconto de 20% em cima desse preço PP - 20%(P) =100%(P) -20%(P) = 80%P = 0,8P
80% = 80/100 = 0,8
veja que, ao calcularmos um desconto, para simplificar, basta que se subtrais dos 100 por cento o valor referente ao desconto e se multiplique pelo preço, veja
Um desconto de 20% nada mais é que: (100-20)%P
o raciocínio para calcular um aumento é análogo: um aumento de 20% seria: (100+20)%P = 1,2P
Juros simples
na matemática é muito comum o cálculo de juros, rendimentos financeiros, etc. existem duas maneiras de se fazer isso, através dos juros simples ou dos compostos. nos juros simples o rendimento é calculado apenas sobre o valor inicial, imagine que um determinado investimento renda 0,5% ao mes, e que o calculo seja feito com juros simples, então, se uma pessoa investir um valor X, a cada mes ela receberá de juros um valor correspondente a 0,5% de X, ou (0,5/100)X = X/200
Juros compostos
Essa é a maneira comum de se calcular juros, a taxa de juros é calculada em cima do valor do mes anterior, e não mais em cima do valor inicial, imagine que um investimento de 1000 reais seja feita a uma taxa de 0,5% ao mes calculada com juros compostos, a cada mes o valor disponível será calculado da seguinte forma:
mes 1 : 100%(1000) + 0,5% (1000) = ( 100 + 0,5)% (1000) = 100,05% (1000) = 1,0005x1000
mes 2: 100,05%(1000) + 0,5%(100,05%(1000) = ( 100%+0,5%)(100,05%(1000)) = 100,05%x100,05%x1000 = (100,05%)²(1000) = (1,0005)²x1000
mes 3: (1,0005)²x1000 + 0,5%((1,0005)²x1000) = 1,0005³x1000
Observe que, em juros compostos, para se calcular o valor disponível após x periodos de investimento basta que se some 100% mais a taxa de juros, elevado ao numero de meses, vezes o capital inicial, então chamemos de C o capital ,V o valor disponivel após X meses e p a taxa de juros (em %):
X
V = (100 %+p%) x C
Assista ao vídeo com a resolução completa, passo a passo, da questão 136 do enem 2017
Questão 136 (juros compostos): Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
Para resolver essa questão será necessário subtrair das parcelas restantes o percentual de juros embutidos nelas
Solução: devemos montar uma expressão que nos dê o valor total pago na sexta prestação, veja que o devedor pretende pagar, de uma só vez, a sexta, sétima e oitava prestações, observe também que a sexta prestação terá o valor de P, pois ela está sendo paga sem antecipação, veja que o valor correspondente à sétima prestação não será P, pois ela está sendo paga com adiantamento de um mês e, portanto, terá desconto referente aos juros de um mês, observe também que a oitava prestação está sendo paga com dois meses de antecedência e, portanto, terá um valor desconto equivalente a dois meses de juros compostos.
Vamos calcular quanto será pago por cada parcela separadamente, e depois basta somarmos os resultados.
6ª parcela: será pago o valor P
7ª parcela: por esta parcela haverá um desconto de i%, ou seja 𝑖100, caso estivéssemos acrescentando juros a essa parcela faríamos a seguinte conta: (obs: chamemos a sétima parcela de X)
X = P + 𝑖100 P, ou seja X = P( 1 + 𝑖100 ) = P(100+𝑖100)
Porém lembre-se de que está sendo dado um desconto para o devedor, então ao invés de aplicarmos uma multiplicação, faremos uma divisão.
X = 𝑃100+𝑖100 = 100𝑃100+𝑖 Podemos dividir ambos os lados da fração por 100, daí temos:
X= 𝑃1+𝑖100
Apliquemos agora o mesmo raciocínio para a oitava parcela, lembrando que essa teria um acréscimo de i% em relação à sétima, chamemos a oitava parcela de Y (observe que estamos acrescentando juros à parcela apenas para facilitar a compreensão, no fim inverteremos a operação e chegaremos à resposta)
Y = (P + 𝑖100P) + 𝑖100(P + 𝑖100P) = P + 𝑖100P + 𝑖100P +𝑖²100²P = P( 1+2𝑖100 + 𝑖²100² ).
Observe que o termo entre parênteses no fim da expressão nada mais é do que
(1+ 𝑖100 )² (lembre-se do quadrado da soma de dois termos) (a+b)² = a² + 2ab + b²
Daí teríamos que Y = P(1+ 𝑖100 )².
Porém devemos agora inverter a operação e, ao invés de multiplicarmos P pelo fator entre parênteses, vamos dividí-lo.
Temos: Y= 𝑃(1+𝑖100 )²
Agora basta que somemos os valores das três parcelas, chamemos essa soma de S
S = P + 𝑃1+𝑖100 + 𝑃(1+𝑖100 )²
Coloquemos P em evidência : S = P ( 1 + 11+𝑖100 + 1(1+𝑖100 )² ) Opção A
Obviamente esses cálculos demoraram mais de três minutos (tempo que você tem disponível para a resolução de cada questão do ENEM, o passo a passo mostrado acima foi feito para que até o estudante menos preparado fosse capaz de entender, vamos mostrar agora um método muito mais simples, rápido e totalmente sem contas. Este método deve ser aplicado por alunos com certa capacidade matemática.
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Se você tem bem afixado em mente o conceito de juros compostos, deve facilmente entender que a sexta prestação, a qual está sendo paga sem adiantamento ou atraso, terá seu valor igual a P, a prestação número 7, a qual está sendo paga com um mês de antecedência, terá um desconto de i%, a prestação número 8, que está sendo paga com dois meses de antecedência, terá um desconto de i²% (i x i %). Você deve ser capaz de perceber também que, quando falamos em desconto de juros, estamos falando em divisão, vamos agora procurar entre as cinco alternativas aquela que tenha um comportamento parecido com o qual nós prevemos. Observe que a opção A é a única que apresenta tal comportamento.
Obs: lembre-se de que toda vez que você encontrar com resposta correta a alternativa A, reveja seus cálculos, pois geralmente ela é uma armadilha para pegar os desavisados que cometem algum erro previsível na resolução da questão.
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Para resolver essa questão será necessário subtrair das parcelas restantes o percentual de juros embutidos nelas
Solução: devemos montar uma expressão que nos dê o valor total pago na sexta prestação, veja que o devedor pretende pagar, de uma só vez, a sexta, sétima e oitava prestações, observe também que a sexta prestação terá o valor de P, pois ela está sendo paga sem antecipação, veja que o valor correspondente à sétima prestação não será P, pois ela está sendo paga com adiantamento de um mês e, portanto, terá desconto referente aos juros de um mês, observe também que a oitava prestação está sendo paga com dois meses de antecedência e, portanto, terá um valor desconto equivalente a dois meses de juros compostos.
Vamos calcular quanto será pago por cada parcela separadamente, e depois basta somarmos os resultados.
6ª parcela: será pago o valor P
7ª parcela: por esta parcela haverá um desconto de i%, ou seja 𝑖100, caso estivéssemos acrescentando juros a essa parcela faríamos a seguinte conta: (obs: chamemos a sétima parcela de X)
X = P + 𝑖100 P, ou seja X = P( 1 + 𝑖100 ) = P(100+𝑖100)
Porém lembre-se de que está sendo dado um desconto para o devedor, então ao invés de aplicarmos uma multiplicação, faremos uma divisão.
X = 𝑃100+𝑖100 = 100𝑃100+𝑖 Podemos dividir ambos os lados da fração por 100, daí temos:
X= 𝑃1+𝑖100
Apliquemos agora o mesmo raciocínio para a oitava parcela, lembrando que essa teria um acréscimo de i% em relação à sétima, chamemos a oitava parcela de Y (observe que estamos acrescentando juros à parcela apenas para facilitar a compreensão, no fim inverteremos a operação e chegaremos à resposta)
Y = (P + 𝑖100P) + 𝑖100(P + 𝑖100P) = P + 𝑖100P + 𝑖100P +𝑖²100²P = P( 1+2𝑖100 + 𝑖²100² ).
Observe que o termo entre parênteses no fim da expressão nada mais é do que
(1+ 𝑖100 )² (lembre-se do quadrado da soma de dois termos) (a+b)² = a² + 2ab + b²
Daí teríamos que Y = P(1+ 𝑖100 )².
Porém devemos agora inverter a operação e, ao invés de multiplicarmos P pelo fator entre parênteses, vamos dividí-lo.
Temos: Y= 𝑃(1+𝑖100 )²
Agora basta que somemos os valores das três parcelas, chamemos essa soma de S
S = P + 𝑃1+𝑖100 + 𝑃(1+𝑖100 )²
Coloquemos P em evidência : S = P ( 1 + 11+𝑖100 + 1(1+𝑖100 )² ) Opção A
Obviamente esses cálculos demoraram mais de três minutos (tempo que você tem disponível para a resolução de cada questão do ENEM, o passo a passo mostrado acima foi feito para que até o estudante menos preparado fosse capaz de entender, vamos mostrar agora um método muito mais simples, rápido e totalmente sem contas. Este método deve ser aplicado por alunos com certa capacidade matemática.
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Se você tem bem afixado em mente o conceito de juros compostos, deve facilmente entender que a sexta prestação, a qual está sendo paga sem adiantamento ou atraso, terá seu valor igual a P, a prestação número 7, a qual está sendo paga com um mês de antecedência, terá um desconto de i%, a prestação número 8, que está sendo paga com dois meses de antecedência, terá um desconto de i²% (i x i %). Você deve ser capaz de perceber também que, quando falamos em desconto de juros, estamos falando em divisão, vamos agora procurar entre as cinco alternativas aquela que tenha um comportamento parecido com o qual nós prevemos. Observe que a opção A é a única que apresenta tal comportamento.
Obs: lembre-se de que toda vez que você encontrar com resposta correta a alternativa A, reveja seus cálculos, pois geralmente ela é uma armadilha para pegar os desavisados que cometem algum erro previsível na resolução da questão.
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